系数a决定了抛物线的开合方向。当a大于0时,抛物线开口向上;当a小于0时,抛物线开口向下。a的绝对值越大,抛物线越窄;系数b对抛物线的对称轴产生影响。
二次函数的图像与系数的关系
1、a的作用:决定开口方向:a > 0开口向上;a < 0开口向下;决定张口的大小:∣a∣越大,抛物线的张口越小。
2、b的作用:b和a与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关;
b与a同号,说明,则对称轴在y轴的左边;
b与a异号,说明,则对称轴在y轴的右边。(左同右异)
3、c的作用:c决定了抛物线与y轴的交点纵坐标.抛物线与y轴的交点(0,c);
c > 0 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴;
c < 0 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴;
特别的,c = 0,抛物线过原点。
4、a,b,c共同决定判别式的符号进而决定图象与x轴的交点;
大于0与x轴两个交点,等于0与x轴一个交点;小于0与x轴没有交点。
抛物线的图像与坐标轴的交点
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当△=b²-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根。这两点间的距离AB=|x2-x1|另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由2x|A+b/2a|(A为其中一点的横坐标)。
当△=0,图象与x轴只有一个交点;
当△<0,图象与x轴没有交点。当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0。
二次函数的最大值或最小值怎么求
二次函数y=ax²+bx+c=a(x+b/2a)²+c-b²/(4a),(a≠0)。
当a>0时二次函数图像开口向上,其有最小值。
当x=-b/2a时,y最小=c-b²/(4a)=(4ac-b²)/(4a)。
当a<0时二次函数图像开口向下,其有最大值。
当x=-b/2a时,y最大=c-b²/(4a)=(4ac-b²)/(4a)。
极值可以是函数最大值,也可以是函数最小值,要根据函数图像开口向下还是向上而定。
二次函数的性质
1、二次函数的图像是抛物线,但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
2、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。|a|越大,则抛物线的开口越小;|a|越小,则抛物线的开口越大。
3、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左侧;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右侧。
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