绝对值不等式的性质

在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值，它们都是通过非负数来度量的。公式：||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|。下面我们就来看一看，绝对值不等式的性质有哪些？

绝对值不等式的性质

1、|ab|=|a||b|：这个性质说明两个数的乘积的绝对值等于它们绝对值的乘积。无论a和b的值是多少，这个性质都成立。

2、|a/b|=|a|/|b|（b≠0）：这个性质说明当b不等于0时，两个数的商的绝对值等于它们的绝对值的商。如果a和b都是正数，那么它们的商是正数，所以它们的绝对值也是正数。如果a是正数而b是负数，那么它们的商是负数，而负数的绝对值是正数，所以这个性质仍然成立。

3、|a|＜|b|可逆，即当a小于b时，a的绝对值大于b的绝对值：这个性质是绝对值不等式的核心性质之一，它表明当a小于b时，它们的绝对值的关系是相反的。

4、||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立：这个性质说明两个数的和的绝对值要么小于或等于它们绝对值的差的绝对值，要么大于或等于它们绝对值的和。

5、|a-b|≤|a|+|b|=|a|+|-b|，当且仅当ab≥0时左边等号成立，ab≤0时右边等号成立：这个性质说明两个数的差的绝对值要么小于或等于它们绝对值的和，要么大于或等于它们绝对值的差。

绝对值不等式的解法有哪些

一、绝对值定义法

对于一些简单的，一侧为常数的含不等式绝对值，直接用绝对值定义即可，

1、如|x| < a在数轴上表示出来。利用数轴可将解集表示为a< x < a

2、|x| ≥ a同理可在数轴上表示出来，因此可得到解集为x≥ a或x≤ a

3、|ax +b| ≥ c型，利用绝对值性质化为不等式组c ≤ ax + b ≤ c，再解不等式组。

二、平方法

对于不等式两边都是绝对值时，可将不等式两边同时平方。

解不等式 |x+ 3| > |x-1|将等式两边同时平方为（x + 3）2 > （x - 1）2得到x2 + 6x + 9 > x2   2x + 1之后解不等式即可，解得x > 1

三、零点分段法

对于不等式中含有有两个及以上绝对值，且含有常数项时，一般使用零点分段法。例 解不等式|x + 1| + |x -3| > 5

在数轴上可以看出，数轴可以分成x < -1,-1 ≤ x < 3, x ≥ 3三个区间，由此进行分类讨论。

绝对值的基本性质

1、绝对值的基本性质包括：非负性：任何数的绝对值都是非负数，即|x|≥0。唯一性：只有正数和零的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，即|x|=x（x≥0），|x|=-x（x<0）。有序性：两个数的绝对值不相等时，它们之间有大小关系，即|x|<|y|（x≠±y）。

2、绝对值的运算性质：a任何数和0的绝对值相等；b互为相反数的两个数的绝对值相等；c一个正数的绝对值是它本身；d一个负数的绝对值是它的相反数；e|a|≥0。绝对值的代数意义：表示该数的点到原点的距离。