绝对值不等式的解法

方法一化为一般不等式，大于取两边，小于取中间，解集要写成集合或区间的形式。方法二分类讨论，当右边等于零时，等于1或-2。绝对值不等式常与函数、方程的知识点考察。

绝对值不等式的解法

1、几何意义法

例如：求不等式|x|＜1的解集；

不等式|x|＜1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合，所以不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。

2、讨论法

例如：求不等式|x|＜1的解集；

①当x≥0时，原来的不等式可以化为x＜1，∴0≤x＜1。

②当x＜0时，原来的不等式可以化为-x＜1，∴-1＜x＜0。

综上所述，不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。

3、平方法

例如：求不等式|x|＜1的解集；

把原不等式的两边平方可以得到：x2＜1，即x2-1＜0，即（x+1）（x-1）＜0，即-1＜x小于1，∴不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。

4、函数图像法

例如：求不等式|x|＜1的解集；

从函数观点看，不等式|x|＜1的解集表示函数y=|x|的图像位于y=1的图像下方的部分对应的x的取值范围。所以不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。

绝对值不等式定理

（1）定理：对任意实数a和b,有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立。

（2）定理的另一种形式：对任意实数a和b,有|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≤0时，等号成立。

绝对值不等式定理的完整形式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。

其中

（1）|a+b|=|a|-|b|成立的条件是ab≤0,且|a|≥|b|;

（2）|a+b|=|a|+|b|成立的条件是ab≥0;

（3）|a-b|=|a|-|b|成立的条件是ab≥0,且|a|≥|b|;

（4）|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab≤0。

去绝对值的方法和技巧

1、定义法：根据绝对值的定义去掉绝对值符号。公式法：利用非负数的性质，即当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。平方法：利用绝对值的代数意义，把一个式子中的绝对值符号转化为若干个相等的式子，从而把绝对值去掉。

2、零点法：利用绝对值的几何意义，在数轴上找到表示绝对值的点的位置，从而去掉绝对值符号。两边平方法：利用两边平方的性质，把绝对值符号转化为若干个相等的式子，从而把绝对值去掉。

3、整体代入法：把含有绝对值符号的式子看作一个整体，直接代入求值。凑整法：利用已知的整数或整式，将绝对值符号转化为整数或整式，从而把绝对值去掉。分组去绝对值法：将含绝对值符号的式子分成若干组，分别去掉绝对值符号。