复数包括实数和虚数吗

2023-12-29 09:59 411人阅读

形如z=a+bi的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。那么，复数包括实数和虚数吗？

复数包括实数和虚数吗

复数包括实数和虚数，实数又可分为有理数和无理数两大类。

形如z=a+bi的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。

虚数的定义和常见形式

1、形如“a+bi”、“bi”（a、b∈R，并且b≠0）的复数都是虚数。其中“i”是虚数单位，“i”的平方等于“-1”。

2、我们把“a+bi”中的“a”称为“实部”，把“b”称为“虚部”。

3、因为实数、虚数都是复数，虚数也可以理解为虚部“b”不是0（带着“i”，并且“i”的系数不是0）的复数。

4、“虚数”的两种常见形式

（1）“a+bi”（a、b∈R，并且a≠0、b≠0）。

（2）“bi”（b∈R，b≠0）。此时，也称为“纯虚数”。

【注】其中“i”为虚数单位。

实数集合的性质

1、实数集合是一个有序集合，即实数之间可以比较大小。

2、实数集合是一个完备的数学集合，也就是说，实数集合中的每个实数都有一个唯一的位置，并且没有任何实数可以填补这个位置，这一性质也称为实数集合的连续性。

3、实数集合包含有理数和无理数，而有理数和无理数又可以分为代数数和超越数两类。

4、实数集合具有一些基本运算法则，如加法、减法、乘法、除法、乘方等。

5、实数集合中的数可以表示为无限小数或者有理数的形式。

实数的概念和定义

实数是有理数和无理数的总称，定义为与数轴上的点相对应的数，是实数理论的核心研究对象，它与虚数共同构成复数。实数可以分为有理数和无理数或代数和超越数。所有实数的集合可称为实数系或实数连续统。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列。

实数包括复数吗