二次函数的定义和性质

二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次， 二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。二次函数表达式为y=ax²+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。如果令y值等于零，则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的零点。

二次函数的定义和性质

一、二次函数的定义

二次函数是一个常见的代数函数，它的定义形式通常为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数且 a ≠ 0。其中 a 是二次项的系数，b 是一次项的系数，c 是常数项。

二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由二次项的系数 a 决定。当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。特殊地，当 a = 0 时，该函数退化为一次函数。

二、二次函数的性质

1、零点

二次函数的零点就是方程 f(x) = 0 的解。根据二次函数的定义，我们可以使用求根公式来求得二次函数的零点。对于一般的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，它的零点可以通过公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a 求得。

2、领域

二次函数的定义域是实数集 R，即所有实数都可以作为自变量。而值域则依赖于二次项系数 a 的正负性质。当 a > 0 时，值域是 [f(c), +∞)，其中 c 是顶点的纵坐标；当 a < 0 时，值域是 (-∞, f(c)]。

3、对称轴

对称轴是二次函数图像的中心线，它将图像分成两部分对称的部分。对称轴的方程可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。

4、顶点

二次函数的顶点是图像的最高点（对于 a > 0）或最低点（对于 a < 0），对称轴与图像相交的点。顶点的横坐标可以通过对称轴的方程求得，顶点的纵坐标可以通过代入得到。

5、函数增减性

当 a > 0 时，二次函数是开口向上的，表示为 f(x) = ax^2 + bx + c。此时函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。当 a < 0 时，二次函数是开口向下的，表示为 f(x) = ax^2 + bx + c。此时函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。

6、极值

二次函数的极值即为顶点的纵坐标值。当 a > 0 时，函数的最小值为顶点的纵坐标值；当 a < 0 时，函数的最大值为顶点的纵坐标值。

7、对称性

二次函数关于对称轴对称，即图像关于对称轴呈现对称性。这意味着对于任意一个点 (x, y) 在图像上，点 (-x, y) 也在图像上。

二次函数的表达式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).

(3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)（又叫两点式，两根式等）

二次函数的三种解法

1、代数解法

首先，将二次函数的标准形式转换为一般形式，然后求出顶点坐标，根据顶点的性质判断开口方向，最后求出零点，即可得到函数的图像和解析式。

2、图解法

画出二次函数的图像，根据图像的特征确定函数的基本形状和性质，进而求出函数的解析式和相关参数。

3、配方法

利用配方法将二次函数转化为完全平方形式，然后套用求完全平方的公式，解出函数的零点和顶点坐标，最后得出函数解析式。