反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsinx,反余弦arccosx,反正切arctanx,反余切arccotx,反正割arcsecx,反余割arccscx这些函数的统称。各自表示其正弦、余弦、正切、余切 ,正割,余割为x的角,那反三角函数怎么转换呢?
反三角函数怎么转换
一、正弦函数与反正弦函数:正弦函数y=sinx在[-π/2,π/2]上的反函数,叫作反正弦函数。arcsinx表示一个正弦值为x的角,该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。arcsinx=a可化为sina=x。
二、余弦函数与反余弦函数:余弦函数y=cosx在[0,π]上的反函数,叫作反余弦函数。arccosx表示一个余弦值为x的角,该角的范围在[0,π]区间内。arccosx=a可化为cosa=x。
三、正切函数与反正切函数:正切函数y=tanx在(-π/2,π/2)上的反函数,叫作反正切函数。arctanx表示一个正切值为x的角,该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。arctanx=可化为tana=x。
反三角函数与原函数的转化公式
反函数与原函数的转化公式是x=f^(-1)(y),其中y表示原函数,而原函数是指对于一个定义在某区间的已知函数,如果存在可导函数F(x),则该区间内的任一点都存在dF(x)=f(x)dx。
且若函数f(x)在某区间上连续,则f(x)在该区间内必存在原函数,这是一个充分而不必要条件,也称为“原函数存在定理”,函数族F(x)+C(C为任一个常数)中的任一个函数一定是f(x)的原函数。
反三角函数的分类
为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2,将y作为反正弦函数的主值,记为y=arcsin x;相应地,反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2;反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
反正弦函数
正弦函数y=sin x在[-π/2,π/2]上的反函数,叫做反正弦函数。记作arcsinx,表示一个正弦值为x的角,该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。定义域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]。
反余弦函数
余弦函数y=cos x在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函数。记作arccosx,表示一个余弦值为x的角,该角的范围在[0,π]区间内。定义域[-1,1] , 值域[0,π]。
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