幂函数的增减性判断

在基本初等函数范围内，指数为奇数（如果是分数的话只要分子是奇数）的幂函数是单增的。为偶数（如果是分数的话只要分子是偶数）的幂函数是偶函数，x=0区间单增。

幂函数的增减性判断

当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增；

②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；

③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；

④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

幂函数有哪些基本性质

1、定义域和值域：当a为整数时，幂函数的定义域为全体实数；当a为非整数时，幂函数的定义域需要排除使x^a无意义的点。幂函数的值域通常根据a的取值和定义域来确定。

2、单调性：当a > 0时，幂函数在其定义域内是增函数；当a < 0时，幂函数在其定义域内是减函数。这一性质与一次函数和二次函数的单调性类似。

3、奇偶性：当a为整数时，若a为偶数，则幂函数为偶函数；若a为奇数，则幂函数为奇函数。当a为非整数时，幂函数通常既不是奇函数也不是偶函数。

4、过定点：所有幂函数都过点（1,1），即当x=1时，y=1。此外，对于特定的a值，幂函数还可能过其他定点，如y = x^2过点（0,0）。

5、导数性质：幂函数的导数可以通过求导公式得到，即（x^a）= ax^（a-1）。这一性质在求解与幂函数相关的导数问题时非常有用。

幂函数的图像

一、正值性质

当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

1、图像都经过点（1,1）（0,0）；

2、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；

3、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0。

二、负值性质

当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：

1、图像都通过点（1,1）；

2、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）;

3、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

三、零值性质

当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）；它的图像不是直线。